Bloque 3 Probabilidad Cobao

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Variable aleatoria discreta. Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.

La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.

El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.

Número de circuitos en una computadora.

El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos

DISTRIBUCIONES

Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio.

Se dividen en:

· Binomial

· Hipergeométrica

· Multinomial

· Poisson

LA DISTRIBUCION BINOMIAL

Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número de problemas

De carácter económico y en numerosas aplicaciones como:

- Juegos de azar.

- Control de calidad de un producto.

- En educación.

- En las finanzas.

La distribución binomial posee las siguientes propiedades esenciales:

1.- El espacio muestral contiene n ensayos idénticos.

2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos de muestreo.

Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una población infinita sin reposición o de una población finita con reposición.

3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito E o fracaso E', las cuales son mutuamente excluyentes es decir E ∩ E' = 0.

Ejercicio...

Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el evento "Número de águilas que caen."

Datos:

n = 4 ensayos.

p =1/2 probabilidad de éxito en un ensayo.

q = 1 - p = 1-1/2=1/2

x = 0, 1, 2, 3, 4

S = {lanzar 4 veces la moneda}

A = {número de águilas que caen}

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

Ocurre cuando en el experimento binomial cada intento tiene más de dos resultados posibles.

Las probabilidades de ocurrencia p1, p2, ..., pk en un solo ensayo, la distribución de probabilidad de las variables aleatorias k1, k2, ..., kn que representan el número de ocurrencias de E1, E2, ..., En en “n” intentos independientes es:

Ejercicio:

Calcular la probabilidad de obtener dos veces el número 4, dos veces el número 5 y una vez el número 2, en el lanzamiento de un dado 5 veces.

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otras observaciones anteriores.

Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.

Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios M ⊂ N y (N - M) ⊂ N entonces, la probabilidad de que en n ensayos x pertenezca a M y (n - x) pertenezca a (N - M) está dada por:

Ejercicio:

Si en una empresa se presentan para cubrir dos vacantes 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y 8 son mujeres, calcular " El número de hombres contratados."

N = {13 aspirantes para cubrir 2 vacantes}

A = {Número de hombres contratados}

E0 = Se contratan x0 = 0 hombres, equivale a contratar (n - x0) = 2 mujeres.

E1 = Se contratan x1 = 1 hombres, equivale a contratar (n - x1) = 1 mujeres.

E2 = Se contratan x2 = 2 hombres, equivale a contratar (n - x2) = 0 mujeres.

Esperanza matemática

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombres de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

Ejemplos:

Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

P (+1) = 2/4

P (+2) = 1/4

P (−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable

Teorema de Bayes

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo: